קיץ 2024 מועד ב – שאלה 1 סעיף אאינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

קיץ 2024 מועד ב – שאלה 1 סעיף א

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה

3סעיף א (2) – האם הביטוי שווה?

📄 נוסח השאלה

(1) הוכיחו באינדוקצייה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל n טבעי.

11 · 2 + 12 · 3 + … + 1n(n + 1)

= nn + 1

(2) האם הביטוי 1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1) שווה ל־n + 1n בעבור כל n טבעי? נמקו את תשובתכם.

סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה

11 · 2 + 12 · 3 + … + 1n(n + 1)
= nn + 1

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: 11 · 2 = 12. אגף ימין:

11 + 1 = 12 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

11 · 2 + … + 1k(k + 1) = kk + 1

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה · המשך

11 · 2 + 12 · 3 + … + 1n(n + 1)
= nn + 1

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

11 · 2 + … + 1(k + 1)(k + 2) = k + 1k + 2

נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= kk + 1 + 1(k + 1)(k + 2)

מכנה משותף (k + 1)(k + 2):

= k(k + 2) + 1(k + 1)(k + 2)

= k² + 2k + 1(k + 1)(k + 2)

📐 הנחת האינדוקציה

11 · 2 + … + 1k(k + 1) = kk + 1

סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה · המשך

11 · 2 + 12 · 3 + … + 1n(n + 1)
= nn + 1

= k² + 2k + 1(k + 1)(k + 2)

במונה ריבוע של סכום:

📐 נוסחת הכפל המקוצר

= (k + 1)²(k + 1)(k + 2)

נצמצם את (k + 1):

= k + 1k + 2 ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(a + b)² = a² + 2ab + b²

סעיף א (2) – האם הביטוי שווה?

11 · 2 + 12 · 3 + … + 1n(n + 1)
= nn + 1

מספיקה דוגמה נגדית אחת. נבדוק n = 2:

1 · 2 + 2 · 3 = 2 + 6 = 8

n + 1n = 32

8 ≠ 32

בסעיף (1) הסכום של ההפכיים שווה ל־nn + 1, אבל זה לא אומר שהסכום של המספרים עצמם שווה להפכי של nn + 1.

✅ פתרון סופי: לא. למשל בעבור n = 2: 8 ≠ 32

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא